備考FRM，考生應(yīng)該清楚計算題量大，而久期（duration）也是計算中重要的考點，考生一定要重視，多加練習(xí)。下面，小編就給廣大考生介紹一下久期的數(shù)學(xué)定義！

久期也稱持續(xù)期，是1938年由F.R.Macaulay提出的。它是以未來時間發(fā)生的現(xiàn)金流，按照目前的收益率折現(xiàn)成現(xiàn)值，再用每筆現(xiàn)值乘以現(xiàn)在距離該筆現(xiàn)金流發(fā)生時間點的時間年限，然后進行求和，以這個總和除以債券目前的價格得到的數(shù)值就是久期。概括來說，就是債券各期現(xiàn)金流支付時間的加權(quán)平均值。

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久期數(shù)學(xué)定義

如果市場利率是Y，現(xiàn)金流（X1,X2,...,Xn）的麥考雷久期定義為：D(Y)=[1*X1/(1+Y)^1+2*X2/(1+Y)^2+...+n*Xn/(1+Y)^n]/[X0+x1/(1+Y)^1+X2/(1+Y)^2+...+Xn/(1+Y)^n]

即 D=(1*PVx1+...n*PVxn)/PVx

其中，PVXi表示第i期現(xiàn)金流的現(xiàn)值，D表示久期。

通過下面例子可以更好理解久期的定義。

例子：假設(shè)有一債券，在未來n年的現(xiàn)金流為（X1,X2,...Xn），其中Xi表示第i期的現(xiàn)金流。假設(shè)利率為Y0，投資者持有現(xiàn)金流不久，利率立即發(fā)生升高，變?yōu)閅，問：應(yīng)該持有多長時間，才能使得其到期的價值不低于利率為Y0的價值？【資料下載】點擊下載FRM二級思維導(dǎo)圖PDF版

通過下面定理可以快速解答上面問題。

定理：PV(Y0)*(1+Y0)^q<=PV(Y)(1+Y)^q的必要條件是q=D(Y0)。

這里D(Y0)=(X1/(1+Y0)+2*X2/(1+Y0)^2+...+n*Xn/(1+Y0)^n)/PV(Y0)

q即為所求時間，即為久期。

上述定理的證明可通過對Y導(dǎo)數(shù)求倒數(shù)，使其在Y=Y0取局部*小值得到。

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久期就是債券價格相對于利率水平正常變動的敏感度。如果一只短期債券基金的投資組合久期是2.0，那么利率每變化1個百分點，該基金價格將上升或下降2%；一只長期債券型基金的投資組合久期是12.0，那么利率每變化1個百分點，其價格將上升或下降12%。